Analitické vyjadrenie priamky a roviny
Parametrická rovnica priamky
- Nech priamka p je určená bodmi A, B. Vektor s = B - A nazývame smerový vektor priamky p.
- Rovnicu X = A + k*s, kde k ∈ R, s ≠ 0 nazývame parametrická rovnica priamky, bod X je ľubovoľný bod priamky.
- Rozpíšeme ju do súradníc: v rovine:
- v rovine: x = a₁ + k*s₁ y = a₂ + k*s₂ k ∈ R
- v priestore: x = a₁ + k*s₁ y = a₂ + k*s₂ z = a₃ + k*s₃ k ∈ R
Polpriamka AB
- má parametrickú rovnicu: X = A + k*s, k ≥ 0
Polpriamka opačná k AB
- má parametrickú rovnicu: X = A + k*s, k ∈ -R₀
Úsečka AB
- má parametrickú rovnicu: X = A + k*s, k ⟨0; 1⟩
Všeobecná rovnica priamky v rovine
- Rovnica tvaru ax + by + c = 0 kde aspoň jedno z čísel a, b je rôzne od nuly, sa nazýva všeobecná.
- Vektor n = [a, b] sa nazýva normálový vektor priamky.
- Je kolmý na priamku a teda aj na smerový vektor s.
- Preto n* s=0 => s = [- b, a].
- Každá priamka v rovine má nekonečne veľa všeobecných rovníc, ktoré sú nenulovými násobkami jednej z nich.
Smernicový tvar rovnice priamky
- Ak vo všeobecnej rovnici priamky ax + by + c = 0 je b≠0, môžeme písať Nech Rovnicu priamky tvaru y = kx + q nazývame smernicový tvar rovnice priamky, číslo k sa nazýva smernica priamky. Ak vo všeobecnej rovnici priamky
ax + by + c = 0 je b≠0, môžeme písať Nech Rovnicu priamky tvaru y = kx + q nazývame smernicový tvar rovnice priamky, číslo k sa nazýva smernica priamky.
- y=(-a/b)*x*(-c/b). Nech k=-a/b a q=-c/b
- Rovnicu priamky tvaru y = kx + q nazývame smernicový tvar rovnice priamky, číslo k sa nazýva smernica priamky.
- k=-a/b alebo k = tan α, α je uhol, ktorý priamka zviera s kladnou polosou x.
- Ak α = 90° tg α nie je definované, to znamená, že priamka rovnobežná s osou y nemá smernicu!
- Priamka daná bodom [x₀, y₀] a smernicou k má rovnicu: y - y₀ = k(x - x₀)
Úsekový tvar rovnice priamky
- Ak p≠0 a q≠0, rovnicu tvaru (x/p) + (y/q) = 1 nazývame úsekový tvar rovnice priamky.
- Číslo p je úsek, ktorý vytíná priamka na osi x, q na osi y.
- Priamka v priestore je určená len parametrickou rovnicou!
Parametrická rovnica roviny
- Body A, B, C určujú rovinu, ak neležia na jednej priamke.
- Nech u = B - A, v = C - A.
- Ľubovoľné nezávislé vektory u, v roviny nazývame smerové vektory roviny.
- Rovnica X = A +t*u+k*v; t, k ∈ R sa nazýva parametrická rovnica roviny, kde X je ľubovoľný bod roviny.
Všeobecná rovnica roviny
- je rovnica tvaru ax + by + cz + d = 0, kde [a, b, c] ≠ [0, 0, 0].
- Vektor n = [a, b, c] sa nazýva normálový vektor roviny a je kolmý na rovinu, teda aj na každé dva smerové vektory roviny.
- Preto jedným normálovým vektorom roviny je vektorový súčin smerových vektorov u x v.
- Každá rovina má nekonečne veľa všeobecných rovníc, ktoré sú nenulovými násobkami jednej z nich.
Elektronický vzedálací materiál 