Vzájomná poloha lineárnych a kvadratických útvarov
- Zistiť vzájomnú polohu priamky a kužeľosečky znamená určiť, koľko spoločných bodov má priamka a kužeľosečka.
- Nech priamka p je určená rovnicou ax + by + c = 0 a kužeľosečka rovnicou Kx² + Ly² + Mx + Ny + P = 0. (Ak je kužeľosečka určená stredovou rovnicou, vieme ju upraviť do všeobecného tvaru.)
- Úlohy riešime pre kužeľosečky, ktorých osi sú rovnobežné so súradnicovými osami v karteziánskej sústave.
- Keďže hľadáme spoločné body priamky a kužeľosečky, tieto musia mať súradnice vyhovujúce rovnici priamky aj kužeľosečky.
- Riešime teda sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi.
- Z lineárnej rovnice vyjadríme y (alebo x) a dosadíme do rovnice kužeľosečky.
- Dostaneme kvadratickú rovnicu tvaru Ax²+ Bx + C = 0 (alebo Ay² + By + C = 0 ) s diskriminantom D.
- O vzájomnej polohe priamky a kužeľosečky platí:
- A≠0 ∧ D = 0 => ∃ jediné reálne riešenie, spoločný práve jeden bod - priamku nazývame dotyčnicou kužeľosečky
- A≠0 ∧ D > 0 => ∃ dve rôzne reálne riešenia, spoločné dva body - priamku nazývame sečnicou kužeľosečky
- A≠0 ∧ D < 0 => žiadne riešenie v R, nemajú spoločný žiaden bod - priamku nazývame nesečnicou kužeľosečky
- A=0 ∧ D ≠ 0 => ∃ jediné riešenie, spoločný jeden bod - priamku nazývame sečnicou
- Štvrtý prípad môže nastať len u hyperboly a paraboly
- U hyperboly je to priamka rovnobežná s niektorou asymptotou a u paraboly je priamka rovnobežná s osou paraboly.
- Priamka sa nazýva dotyčnicou kužeľosečky, ak obsahuje jediný bod kužeľosečky a všetky ostatné body sú vonkajšie body kužeľosečky.
Rovnica dotyčnice kružnice.
- Nech bod T[x, y] je dotykový bod a kružnica je daná rovnicou (x - m)² + (y - n²) = r²
- Potom dotyčnica má rovnicu: (x,m)-(x-m) + (yn). (yn) = r²
Rovnica dotyčnice elipsy.
- Nech bod T[x₀, y₀] je dotykový bod a elipsa je daná rovnicou ((x - m)²/(a²)) + ((y - n)²/(b²)) = 1
- Potom dotyčnica elipsy má rovnicu: b²*(x₀-m)(x-m)+a²*(y₀ - n)*(y - n) = a² * b²
Rovnica dotyčnice hyperboly.
- Nech bod T[x₀, y₀] je dotykový bod a hyperbola je daná rovnicou ((x - m)²/(a²)) - ((y - n)²/(b²)) = 1
- Potom dotyčnica hyperboly má rovnicu: ±b²*(x₀-m)(x-m)∓a²*(y₀ - n)*(y - n) = a² * b²
Rovnica dotyčnice paraboly
- Nech bod T[x₀, y₀] je dotykový bod a parabola je daná rovnicou (x - v₁)²=±2p*(x - v₂)
- ,potom dotyčnica má rovnicu: (x₀-v₁)*(x-v₁)=±p*(y₀-v₂)±p*(y-v₂)
- (y-v₂)²=±2p*(x-v₁)
- ,potom dotyčnica má rovnicu: (y₀-v₂)*(y-v₂)=±p*(x₀-v₁)±p*(x-v₁)
- Rovnicu dotyčnice ku kužeľosečke môžeme vyjadriť aj pomocou derivácie funkcie určenej implicitne.
- Ďalším typom úloh sú úlohy na zistenie vzájomnej polohy dvoch kužeľosečiek.
- Hľadáme spoločné body kužeľosečiek. Ich súradnice vyhovujú obidvom rovniciam.
- Riešime teda sústavu dvoch kvadratických rovníc s dvoma neznámymi. Krivky môžu mať najviac štyri spoločné body.
Elektronický vzedálací materiál 