Elektronický vzdelávací materiál

Rovnice a nerovnice

Rovnice a nerovnice

sú špeciálnymi prípadmi výrokových foriem. Budeme se zaoberať výrokovými formami:
f(x) ! g(x)
f(x, y) ! g(x, y)
f(x, y, z) ! g(x, y, z)
kde ! je jeden zo znakov =,>,<,≤,≥
Výraz f(x) sa nazýva ľavá strana rovnice (nerovnice). Výraz g(x) sa nazýva pravá strana rovnice (nerovnice)
Výrokovú formu f(x) * g(x) nazveme rovnicou (nerovnicou) s jednou neznámou.

Množinu všetkých x ∈ R

pre ktoré je rovnica (nerovnica) definovaná, nazveme definičný obor rovnice (nerovnice). Označujeme ho D.

Množinu všetkých x ∈ D

pre ktoré sa rovnica (nerovnica) stáva pravdivým výrokom, nazveme obor pravdivosti rovnice (nerovnice). Označíme ho P.

Nech f(x) ! g(x), f(x) ! g(x) sú dve rovnice (nerovnice) so spoločným definičným oborom.
Úpravu rovnice (nerovnice) f(x) * g(x) na rovnicu (nerovnicu) f(x) * g(x) nazývame ekvivalentnou práve vtedy, keď P = P₁
Úpravu avu rovnice (nerovnice) f(x) * g(x) na rovnicu (nerovnicu) f(x) * g₁(x) nazývame dôsledkovou, ak P ⊂ P₁

Ekvivalentné úpravy výrokovej formy (označme ich EÚ):

1. Pripočítanie toho istého čísla k obidvom stranám výrokovej formy.
2. Vynásobenie obidvoch strán tým istým číslom rôznym od nuly. Ak f(x) ! g(x) je nerovnica a číslo je záporné, znak nerovnosti sa obráti.
3. Pripočítanie ľubovoľného výrazu (s rovnakým definičným oborom ako má výroková forma) k obidvom stranám výrokovej formy.

Dôsledkové úpravy rovníc (DÚR):

1. Násobenie obidvoch strán výrazom definovaným v D>.
f(x ) = g(x) => f(x) * g(x) = g(x) * g(x).
2. Umocnenie obidvoch strán rovnice.
f(x) = g(x) => f(x)² = g(x)².
3. Odmocnenie obidvoch strán rovnice.
0 ≤ f(x) = g(x) => √f(x) = √g(x).

Dôsledkové úpravy nerovníc (DÚN):

1. Vynásobenie obidvoch strán výrazom definovaným v D:
f(x) < g(x) ∧ h(x) > 0 => f(x) * h(x) < g(x) * h(x)
f(x) < g(x) ∧ h(x) < 0 => f(x) * h(x) > g(x) * h(x)
2. Umocnenie obidvoch strán nerovnice:
f(x) > g(x) ≥ 0 => f²(x) > g²(x)
3. Odmocnenie obidvoch strán nerovnice: f(x) > g(x) ≥ 0 => √f(x) > √g(x)