Elektronický vzdelávací materiál

Kvadratické rocvnice a nerovnice

Kvadratická rovnica

je každá rovnica tvaru ax² + bx + c = 0, kde a, b, c ∈ R a a≠0. Ak a = 1 hovoríme, že rovnica je v normovanom tvare. Ak b=0 alebo c=0, tak rovnica je neúplná (rýdzokvadratická alebo bez absolútneho člena).
O počte koreňov kvadratickej rovnice v obore R rozhoduje číslo D = b² - 4ac, ktoré nazývame diskriminant.
Ak D > 0 má kvadratická rovnica dva rôzne reálne korene:

x₁,₂ =
-b±√D/2a

Ak D = 0 má kvadratická rovnica jeden dvojnásobný koreň

x =
-b/2a

Ak D < 0 , nemá kvadratická rovnica v R koreň.

Pre korene x₁, x₂, kvadratickej rovnice ax² + bx + c = 0 a ≠ 0 platia vzťahy:

x₁+x₂=
-b/a

x₁*x₂=
c/2a

a(x-x₁)(x-x₂)=0

Kvadratická nerovnica

s neznámou x nazývame nerovnicu tvaru ax + b >0(≥ 0,≤ 0,< 0) kde a, b Є R alebo takú nerovnicu, ktorú možno algebrickými úpravami na tento typ upraviť.

je nerovnica tvaru ax² + bx + c > 0 (≥ 0, < 0, ≤ 0), kde a, b, c Є R a a≠0.

Môžeme ich riešiť doplnením na štvorec, rozkladom na súčin, graficky. Pri grafickom riešení nerovníc využívame nasledujúce fakty:

a) grafickým obrazom funkcie y = ax² + bx + c a ≠ 0 je parabola

b) ak a > 0 má vo vrchole minimum

c) ak a < 0 má vo vrchole maximum

d) ak D > 0, parabola pretína os x v dvoch rôznych bodoch

e) ak D = 0, parabola sa osi x dotýka

f) ak D < 0, parabola nepretína os x

x =
4/3
πr³ ; S = 4πr²

Elektronický vzedálací materiál

Kvadratické rocvnice a nerovnice