Elektronický vzdelávací materiál

Sústavy lineárnych rovníc a nerovníc

Lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi

x, y nazývame rovnicu tvaru ax + by = c kde a, b, c Є R alebo takú rovnicu, ktorú možno algebrickými úpravami na tento typ upraviť.
Takáto rovnica má v obore všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel nekonečne veľa riešení, ktoré pri znázornení v karteziánskej súradnicovej sústave vyplnia priamku, ak [a, b] ≠ [0,0].

Lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi

x, y nazývame nerovnicu tvaru ax + by >c(≥ c,≤ c,< c), kde a, b, c Є R
Takáto nerovnica má v obore všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel nekonečne veľa riešení a v karteziánskej súradnicovej sústave vyplnia polrovinu s hraničnou priamkou ax + by = c ak [a, b] ≠ [0,0].
Body hraničnej priamky patria do množiny riešení práve vtedy, keď nerovnosť je neostrá.

Sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi môžeme riešiť:>
a) graficky - znázorníme karteziánske grafy obidvoch rovníc, sú to dve priamky: ak sú tieto dve priamky rovnobežné rôzne, sústava nemá riešenie, ak sú tieto dve priamky rovnobežné totožné, sústava má nekonečne veľa riešení,
ak sú priamky rôznobežné, má jediné riešenie;
b) dosadzovacou metódou - z jednej rovnice vyjadríme jednu neznámu a dosadíme do druhej;
c) sčítacou metódou - vhodným vynásobením rovníc sa po sčítaní rovníc jedna neznáma vylúči.

Lineárnou rovnicou s tromi neznámymi

x, y, z nazývame rovnicu tvaru ax + by + cz + d = 0, a, b, c ∈ R.
Takáto rovnica má v obore všetkých usporiadaných trojíc reálnych čísel nekonečne veľa riešení, ktoré pri znázornení v karteziánskej súradnicovej sústave vyplnia rovinu, ak [a, b, c] ≠ [0; 0; 0].
Sústava lineárnych rovníc s tromi neznámymi je konjunkcia takýchto rovníc.

Môžeme ju riešiť: